Geometria Analítica

  Geometria anlítica é o estudo da geometria através da  álgebra surgiu ainda no século XVI com o matemático Rene Descartes. E  tem como principal ápice o estudo da reta. 
     Ela nós auxiliará a compreender melhor as distâncias e localizações dos astros. Além disso a geometria analítica é muito usual em cálculos relacionados à cinemática vetorial, dinâmica, campo eletrico, entre outros. Foi ainda a partir dos estudos relacionados a área que surgiram as modalidades de cálculo diferencial e integral.

     Num plano cartesiano nós possuimos duas retas (x e y), sendo  x a reta das abcissas e y a reta das ordenadas. 

     Se possuirmos as medidas de X e Y de um determinado ponto ficará fácil localiza-lo no plano cartesiano.

Fig.1
A(3;5) e B(11;8)

Distância entre dois pontos:

Fig.2
Distância entre dois pontos.

Fig.3
Imaginando um triângulo retângulo para facilitar nossa conta.

Fig.4
Formula da distância entre dois pontos

A equação da reta é uma das partes principais da geometria analítica é através dela que podemos determinar o coeficiente angular da reta.

Fig 1: "Reconhecimento de dois pontos da reta"
Autoria própria

Fig 2: "Fórmula da reta"

Fig 3: "Resolução do cálculo do coeficiente ângular de uma reta"

     Se quisermos calcular a distância entre dois pontos do plano cartesiano não haveram problemas, basta conhecer as suas coordenados (isto é os valores das abcissas e das ordenadas de ambos os pontos). 

      Conhecendo os pontos A e B e suas respectivas posições no plano cartesiano.

    Usando o teorema de Pitágoras para facilitar nossa resolução podemos renomear as retas sendo a reta d a hipotenusa e as retas AC e BC seus catetos.
Portanto temos que:
                                         d²= AC² +CB²
                                         d²=(11-3)² +(8-5)²
                                            d²= 8²+ 3²
                                               d²=64+9
                                                 d²=

DE UM MODO GERAL podemos adotar a seguinte fórmula:
                                
                                 

O coefeicinete angular de uma reta é a tangente de seu ângulo de inclinação, ou seja uma reta que esteja paralela ao ângulo de inclinação da nossa reta de referência (r).Para medirmos o coeficiente ângular de uma reta não paralela precisamos conhecer dois pontos desta reta. Ou, caso estejamos tentando calcular o coeficiente linear entre duas retas, precisamos conhecer ao menos um ponto de cada uma destas.

É importante saber que se a reta for perpendicular a o eixo das abcissas (formando um ângulo de 90°) será impossível determinar sua tangente,e, por sua vez não é possível calcular o coeficiente angular de uma reta perpendicular à abcissa.
Para encontra-lo precisamos primordialmente da equação fundamental da reta, dada por:

m = Δy/Δx

Além desta toda reta possui uma forma generalizada de ser expressa, podendo ser inscrita pela forma:

ax+by+c=0

Vejamos um exemplo:

O primeiro passo para descobrirmos qual a equação de uma reta é selecionar dois pontos desta e indicar suas posições no plano cartesiano.

Na imagem temos as seguintes coordenadas  B=(5;-2) e A=(3;1).

Após demarcado corretamente os pontos no plano cartesiano, devemos aderir à equação fundamental da reta dada por:

Através desta chegaremos enfim ao coeficiente angular das retas.

Fig 3: "Resolução do cálculo do coeficiente ângular de uma reta"

O próprio nome já é bem sugestivo, o ângulo entre duas retas não é nada além de um ângulo entre duas retas. Isto é desde que estas sejam concorrentes, não paralelas a nenhum dos eixos e não perpendiculares entre si.

Fig 1: "Duas retas concorrentes sobre o plano cartesiano"
Imagem de autoria própria.

Na nossa imagem o ângulo Θ é o nosso ângulo de separação. Isto de forma que podemos aceitar a equação da reta para estas duas, isto é desde que nenhuma seja perpendicular ao eixo das abcissas. 

Através da equação da reta, extrairemos os valores de Mr e Ms (coeficiente ângular das retas r e s respectivamente). Caso não conheça o método de cálcular o valor do coeficiente ângular basta clicar aqui.
Assim sendo, basta aplicar esta nova fórmula para obter o valor do ângulo entre as duas retas. Sem se esquecer de retirar o arco tangente no final da expressão.

Fig 2: "Fórmula da distância entre dois pontos".

Além disso é importante ressaltar que caso uma reta seja oblíqua e a outra vertical o ângulo de separação delas será tal que:

tgΘ=|1\Mr|

     


Glossário:
Extraído de <brasilescola.uol.com.br/matematica/geometria-analitica.htm>. Acesso em 08 de Julho de 2016.